Integral

Konsep: Aturan pangkat integral: pangkat NAIK 1, lalu BAGI dengan pangkat baru. Langkah penyelesaian: 1. Pakai aturan integral pangkat: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ untuk $n\ne -1$. 2. Di sini $n=2$, sehingga pangkat naik satu menjadi $3$ dan penyebutnya juga $3$. 3. Hasil rapinya $\frac{x^3}{3}+C$. Jawaban benar: C -- hasil integralnya $\frac{1}{3}{x}^3+C$, karena pangkat dinaikkan satu lalu dibagi pangkat barunya; konstanta $C$ wajib ditulis sebab antiturunan tidak tunggal. Tips: Aturan pangkat integral: pangkat NAIK 1, lalu BAGI dengan pangkat baru. Kebalikan turunan (yang menurunkan pangkat). Selalu jangan lupa + C!

Konsep: Pola: $x^4$ -> $x^5$/5. Langkah penyelesaian: 1. Aturan pangkat untuk integral: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$. 2. Substitusi $n=4$ memberi pangkat baru $4+1=5$ dan pembagi $5$. 3. Jadi hasilnya $\frac{x^5}{5}+C$. Jawaban benar: B -- hasilnya $\frac{1}{5}{x}^5+C$; pangkat empat naik menjadi lima, lalu seluruh suku dibagi lima sesuai aturan integral pangkat. Tips: Pola: $x^4$ -> $x^5$/5. Pangkat naik 1 jadi 5, lalu bagi 5. Beda dengan turunan yang menurunkan pangkat.

Konsep: Konstanta MULTIPLIER tetap dikalikan, hanya pangkatnya yang di-integral. Langkah penyelesaian: 1. Konstanta pengali boleh dikeluarkan: $\int 6x^{2}dx=6\int x^{2}dx$. 2. Integral bagian dalamnya $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$. 3. Kalikan kembali: $6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3$, jadi hasilnya $2x^3+C$. Jawaban benar: C -- hasil akhirnya $2x^3+C$, sebab $6$ dikalikan dengan $\frac{1}{3}$ dari aturan pangkat sehingga koefisiennya menyusut menjadi $2$. Tips: Konstanta MULTIPLIER tetap dikalikan, hanya pangkatnya yang di-integral. 6/3 = 2, jadi koefisien akhir = 2.

Konsep: Integral konstanta = konstanta dikali x. Langkah penyelesaian: 1. Integral konstanta: $\int kdx=kx+C$, sebab turunan $kx$ kembali menjadi $k$. 2. Dengan $k=5$ diperoleh $5x+C$. 3. Periksa balik: turunan $5x$ memang $5$, jadi antiturunannya benar. Jawaban benar: D -- hasilnya $5x+C$; mengintegralkan konstanta berarti mengalikannya dengan $x$, dan pengecekan lewat turunan mengembalikan angka $5$ semula. Tips: Integral konstanta = konstanta dikali x. int k dx = kx + C. Cek balik: turunan kx = k, benar.

Konsep: Integral suku per suku: ambil tiap term, integralkan, lalu jumlahkan. Langkah penyelesaian: 1. Integral bersifat suku demi suku: $\int (2x+3)dx=\int 2xdx+\int 3dx$. 2. Suku pertama: $\int 2xdx=2\cdot \frac{x^2}{2}=x^2$. 3. Suku kedua: $\int 3dx=3x$, sehingga totalnya $x^2+3x+C$. Jawaban benar: E -- hasil gabungannya $x^2+3x+C$, diperoleh dari mengintegralkan tiap suku terpisah lalu menjumlahkan kembali kedua antiturunannya. Tips: Integral suku per suku: ambil tiap term, integralkan, lalu jumlahkan. Hanya butuh SATU + C di akhir.