Vektor di Ruang (3D)

Konsep: Vektor antar dua titik = TITIK AKHIR dikurangi TITIK AWAL. Langkah penyelesaian: 1. Vektor antar dua titik selalu TITIK UJUNG dikurangi TITIK PANGKAL. Karena yang diminta $\overrightarrow{AB}$, hitung $B-A$, bukan sebaliknya. 2. Kurangkan komponen demi komponen: $x$: $4-1=3$; $y$: $6-2=4$; $z$: $8-3=5$. 3. Susun kembali menjadi matriks kolom $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 5\end{array}\right)$. Jawaban benar: A -- komponennya $3$, $4$, dan $5$ berturut-turut, hasil pengurangan koordinat $B(4,6,8)$ oleh $A(1,2,3)$ satu sumbu demi satu sumbu. Tips: Vektor antar dua titik = TITIK AKHIR dikurangi TITIK AWAL. AB artinya dari A ke B, jadi B - A. Jangan terbalik.

Konsep: Hati-hati pengurangan dengan tanda negatif: $3-(-1)=3+1=4$. Langkah penyelesaian: 1. Gunakan aturan ujung dikurangi pangkal: $\overrightarrow{PQ}=Q-P$. 2. Komponen $x$: $0-2=-2$. Komponen $y$: $3-(-1)=3+1=4$ -- kurang negatif berarti menambah. 3. Komponen $z$: $-2-5=-7$. 4. Jadi vektornya $\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -7\end{array}\right)$. Jawaban benar: B -- komponennya $-2$, $4$, dan $-7$. Bagian $y$ menjadi $+4$ karena mengurangi bilangan negatif sama dengan menambah, sedangkan $x$ dan $z$ bertanda minus. Tips: Hati-hati pengurangan dengan tanda negatif: $3-(-1)=3+1=4$. Jangan tertukar dengan $3-1=2$.

Konsep: Untuk titik dengan koordinat negatif, hati-hati dengan tanda. Langkah penyelesaian: 1. Terapkan $\overrightarrow{MN}=N-M$ dengan $M(-3,2,4)$ sebagai pangkal. 2. Komponen $x$: $1-(-3)=1+3=4$. 3. Komponen $y$: $-2-2=-4$, dan komponen $z$: $0-4=-4$. 4. Hasilnya $\left(\begin{array}{c}4\\ -4\\ -4\end{array}\right)$. Jawaban benar: C -- komponennya $4$, $-4$, dan $-4$. Koordinat $x$ pangkal yang negatif berubah menjadi penambah sehingga menghasilkan $+4$, sedangkan dua sumbu lainnya berkurang. Tips: Untuk titik dengan koordinat negatif, hati-hati dengan tanda. $1-(-3)=1+3=4$.

Konsep: Rumus magnitudo R3: akar dari jumlah kuadrat semua komponen. Langkah penyelesaian: 1. Panjang vektor di ruang dihitung $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. 2. Kuadratkan tiap komponen: $2^2=4$, $3^2=9$, $6^2=36$. 3. Jumlahkan lalu akarkan: $\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$. Jawaban benar: D -- panjangnya $7$ satuan, karena jumlah kuadrat komponennya persis $49$ -- inilah pola triple ruang $(2,3,6)$ yang selalu menghasilkan panjang bulat. Tips: Rumus magnitudo R3: akar dari jumlah kuadrat semua komponen. Ingat triple Pythagoras 3D klasik: $(2,3,6)\to 7$ dan $(1,2,2)\to 3$.

Konsep: Triple Pythagoras 3D: (1, 2, 2) selalu menghasilkan magnitudo 3. Langkah penyelesaian: 1. Pakai rumus panjang $|\vec{b}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. 2. Kuadratkan dan jumlahkan: $1^2+2^2+2^2=1+4+4=9$. 3. Akar dari $9$ adalah $3$. Jawaban benar: E -- panjangnya $3$ satuan, sebab jumlah kuadrat komponennya tepat $9$ -- pola $(1,2,2)$ yang termasuk triple Pythagoras ruang. Tips: Triple Pythagoras 3D: (1, 2, 2) selalu menghasilkan magnitudo 3. Hafal pola ini untuk menghemat waktu.