Trigonometri Lanjut (Identitas & Persamaan)

Konsep: Hafal triple Pythagoras: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Langkah penyelesaian: 1. Pakai identitas dasar ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: masukkan $\sin x=\frac{3}{5}$ sehingga ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$. 2. Tarik akarnya: $\cos x=\pm \frac{4}{5}$. Karena $x$ lancip (kuadran I), semua nilai trigonometrinya positif, jadi tanda minus dibuang. 3. Cocok dengan gambar segitiga siku-siku: sisi depan $3$, sisi miring $5$, sisi samping $\sqrt{25-9}=4$, maka $\cos x=\frac{\text{samping}}{\text{miring}}=\frac{4}{5}$. Jawaban benar: A -- nilainya $\cos x=\frac{4}{5}$, diperoleh dari ${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$ lalu diakar dengan tanda positif karena $x$ lancip -- persis segitiga 3-4-5. Tips: Hafal triple Pythagoras: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Saat $\sin =\frac{a}{c}$, langsung tahu $\cos =\frac{b}{c}$ dengan $a^2+b^2=c^2$.

Konsep: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ tidak pernah ditambah atau dikurangi (itu salah). Langkah penyelesaian: 1. Definisi tangen: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, jadi kedua nilai yang diberikan harus DIBAGI, bukan dijumlah atau dikurangi. 2. Substitusi: $\tan x=\frac{12/13}{5/13}$. Pembagian pecahan sama dengan mengalikan kebalikannya: $\frac{12}{13}\times \frac{13}{5}$. 3. Angka $13$ di pembilang dan penyebut saling mencoret, tersisa $\frac{12}{5}$. Jawaban benar: B -- hasilnya $\tan x=\frac{12}{5}$, karena membagi $\frac{12}{13}$ dengan $\frac{5}{13}$ membuat penyebut $13$ saling hilang dan menyisakan perbandingan sisi depan terhadap sisi samping. Tips: $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ tidak pernah ditambah atau dikurangi (itu salah). Bagi langsung. Pembagian pecahan = perkalian dengan kebalikannya.

Konsep: Hafal identitas Pythagorean: ${\sin }^2+{\cos }^2=1$, $1+{\tan }^2={\sec }^2$, $1+{\cot }^2={\csc }^2$. Langkah penyelesaian: 1. Gunakan identitas Pythagorean versi tangen: $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$, supaya tidak perlu mencari $\sin x$ dan $\cos x$ satu per satu. 2. Substitusi $\tan x=\frac{3}{4}$: ${\sec }^{2}x=1+\frac{9}{16}=\frac{16}{16}+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$. 3. Akar dari $\frac{25}{16}$ adalah $\frac{5}{4}$, diambil positif karena $x$ lancip. Jawaban benar: C -- nilainya $\sec x=\frac{5}{4}$. Dari $1+{\tan }^{2}x$ didapat ${\sec }^{2}x=\frac{25}{16}$; pada segitiga 3-4-5 ini sama dengan sisi miring dibagi sisi samping. Tips: Hafal identitas Pythagorean: ${\sin }^2+{\cos }^2=1$, $1+{\tan }^2={\sec }^2$, $1+{\cot }^2={\csc }^2$. Tiga identitas dasar yang pasti keluar di soal.

Konsep: Sudut komplementer = sudut yang berjumlah $90^{\circ }$. Langkah penyelesaian: 1. Perhatikan bahwa $30^{\circ }$ dan $60^{\circ }$ berjumlah $90^{\circ }$, jadi keduanya sudut komplementer. 2. Untuk sudut komplementer berlaku $\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta$. Tulis $\cos 60^{\circ }=\cos (90^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }$. 3. Karena soal sudah memberi $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, langsung didapat $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Jawaban benar: D -- hasilnya $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, sebab $60^{\circ }$ adalah pelengkap $30^{\circ }$ menuju $90^{\circ }$ sehingga nilai cosinusnya sama persis dengan sinus pasangannya. Tips: Sudut komplementer = sudut yang berjumlah $90^{\circ }$. Sin dan cos saling bertukar: $\sin (90-x)=\cos x$ dan sebaliknya.

Konsep: Aturan KUADRAN dengan akronim 'All Students Take Calculus': K1 SEMUA positif, K2 SIN positif, K3 TAN positif, K4 COS positif. Langkah penyelesaian: 1. Tentukan kuadran: $150^{\circ }$ ada di antara $90^{\circ }$ dan $180^{\circ }$, berarti kuadran II tempat sinus bernilai POSITIF. 2. Cari sudut referensinya, yaitu jarak ke sumbu-x terdekat: $180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$. 3. Jadi $\sin 150^{\circ }=+\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$. Jawaban benar: E -- nilainya $\frac{1}{2}$, karena $150^{\circ }$ berada di kuadran II dengan sudut acuan $30^{\circ }$, dan sinus di kuadran II tetap bertanda positif. Tips: Aturan KUADRAN dengan akronim 'All Students Take Calculus': K1 SEMUA positif, K2 SIN positif, K3 TAN positif, K4 COS positif. Sisanya negatif.